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El teorema de los cuatro colores

El teorema de los cuatro colores

El teorema de los cuatro colores consiste básicamente, en que cualquier mapa puede ser coloreado solamente con cuatro colores distintos de tal manera que dos regiones adyacentes (es decir, que tienen una frontera en común y no sólo un punto) no tengan el mismo color. Aquí te ponemos un ejemplo con el mapa de España. Si quieres puedes intentarlo tú.

Aunque parece un problema no matemático, sin embargo lo es y su demostración no es nada sencilla, ha costado mucho esfuerzo y 125 años el conseguirlo.

El comienzo

Como tantos otros problemas matemáticos, comenzó de una manera casual. En 1850 un inglés estudiante de leyes, Francis Guthrie se entretenía intentando colorear el mapa de Inglaterra utilizando la menor cantidad de colores posibles e intentó hacerlo con sólo cuatro colores sin conseguirlo, pero tenía la intuición de que se podía hacer. Le contó a su hermano Frederick su problema. Frederick había estudiado con un prestigioso matemático inglés de la época llamado De Morgan, que no supo solucionar el problema. De Morgan le envió una carta  a Hamilton (otro matemático inglés importante) que no abordó el problema.

El caso es que el problema de los cuatro colores empezó a adquirir fama de tal forma que en 1878 el profesor Cayley lo propuso oficialmente a la London Mathematical Society (una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo) como un problema a resolver.

Al poco tiempo A. B. Kempe propuso una demostración que publicó en 1879. Esta demostración fue, en principio, aceptada y dio mucha fama a Kempe, hasta que Heawood descubrió en 1890, 11 años después, que la demostración de Kempe tenía un error, Heawood siguió trabajando en el problema pero no lo solucionó, sin embargo consiguió probar que con cinco colores si se podía colorear cualquier mapa.

También se supo que tres colores no eran suficientes, de modo que sólo quedaba por probar o refutar los cuatro colores.

El problema siguió dando vueltas. Algunos matemáticos pensaron incluso, que no todo mapa se podía colorear con cuatro colores.
 La prueba

¡Por fin!, en 1976 Appel  y Haken dieron una prueba del teorema. Demostraron mediante un complicado programa de ordenador que, efectivamente cuatro colores eran suficientes para colorear cualquier mapa.

De nuevo surgieron objeciones. El proceso del ordenador, es decir los pasos internos del ordenador no podían seguirse ni comprobarse cuando la máquina los hacía; y para verificarlos "a mano", eran tantos, que habría  hecho falta toda una vida para realizarlos. De modo que algunos matemáticos han tenido muchas reservas con respecto a esta demostración.

Por último, en 1996, Neil Robertson; Daniel P. Sanders; Paul Seymour y Robin Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Georgia Institute of Technology de Estados Unidos, publicaron una nueva prueba que no tenía los inconvenientes de la demostración de Appel y Haken.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

REPRESENTACIÓN DE LAS CUADRÁTICAS

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Si nosotros representamos las ecuaciones cuadráticas bien sea  en forma polinomial o ya sea de forma cuadrática pura  y las ingresamos al programa Geogebra podemos ver que las raíces o soluciones de la misma se  refleja en los puntos que son  intersecciones con el eje x es de esa manera que  se pueden acercar las disciplinas de álgebra y geometría  desde modelos cuadráticos además la gráfica de toda función cuadrática resulta ser una parábola.

No olvides que  hay formas de presentación de las ecuaciones cuadráticas que a veces parecen tener distintas soluciones pero que en realidad son iguales esto es porque a veces el alumno no está familiarizado con las formas factorizadas o reducidas de las ecuaciones un buen  ejemplo son los enunciados y=x2+4x-5, y=(x-1) (x+5) y y=(x+2)2-9, determinan la misma relación entre x e y, lo cual puede verificarse observando que producen las mismas tablas de valores y las mismas gráficas. Pero cada enunciado revela información que permanecía oculta en cada uno de los otros dos. El álgebra nos proporciona maneras de extraer dichos significados ocultos de los enunciados. La forma y=(x-1) (x+5) nos proporciona instantáneamente información acerca de sus ceros o intersecciones en x, pero tenemos que realizar un desciframiento adicional para encontrar la intersección con el eje y. Todavía es necesario hacer algo más para encontrar un valor extremo (el vértice). La forma y=x2+4x-5 nos proporciona, a simple vista, la información sobre la intersección en el eje y, pero nos obliga a hacer un poco de trabajo extra para encontrar el resto de las características de la gráfica. Puedes acceder a este link para ver en qué situaciones interviene este tipo de ecuaciones

                                   https://www.geogebra.org/m/raGN8SFf

Los números primos y la naturaleza

Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim, tiene
el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo
tierra, donde las ninfas absorben pacientemente los zumos de las raíces de los
árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen
de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas
semanas después se aparean, ponen los huevos y se mueren. La cuestión que
inquietaba a los zoólogos era: ¿por qué el ciclo vital de las cigarras es tan largo?
¿Qué quiere decir que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie,
la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales
que son números primos dan algún tipo de ventaja para la conservación de la
vida.
Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo
vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital,
pongamos de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo de vital que sea
divisible por 2, si no el parásito y la cigarra coincidirán regularmente.

De esta manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de tres años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital que sea divisible por 3, si no el parásito y la cigarra volverán a coincidir. Al fin, si quiere evitar encontrarse con su parásito, la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá al 17, la Magicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años solo se encontrara cada 34, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años por ejemplo, solo se encontrarán cada 272 años.

El parásito, en su lucha por sobrevivir, solo tiene dos ciclos vitales que incrementan las frecuencias de las coincidencias: El ciclo anual o el mismo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las primeras 16 apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero

durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaría que, en algún estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirían durante ¡272 años! En cualquier caso el largo ciclo vital de las cigarras y el número primo de años, las protege.

¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital hasta conseguir traspasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su falta de coincidencia con la cigarra lo habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con el ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace falta porque su parásito ya no existe.